// 版权所有2009 Go作者。保留所有权利。
// 此源代码的使用受BSD样式
// 许可证的约束，该许可证可以在许可证文件中找到。

// 此文件实现有符号多精度整数。

package big

import (
	"fmt"
	"io"
	"math/rand"
	"strings"
)

// 整数表示有符号多精度整数。
// 整数的零值表示0。
// 
// 操作总是采用指针参数（*Int）而不是Int值，每个唯一的Int值都需要
// 它自己唯一的*Int指针。要“复制”一个Int值，必须使用Int.set方法将现有（或新分配的）Int设置为
// 一个新值；不支持Ints的浅拷贝
// 可能会导致错误。
type Int struct {
	neg bool // 符号
	abs nat  // 整数的绝对值
}

var intOne = &Int{false, natOne}

// 符号返回：
// 
// /-1如果x<0 
// 0如果x==0 
// /+1如果x>0 
// 
func (x *Int) Sign() int {
	if len(x.abs) == 0 {
		return 0
	}
	if x.neg {
		return -1
	}
	return 1
}

// SetInt64将z设置为x并返回z。
func (z *Int) SetInt64(x int64) *Int {
	neg := false
	if x < 0 {
		neg = true
		x = -x
	}
	z.abs = z.abs.setUint64(uint64(x))
	z.neg = neg
	return z
}

// set64将z设置为x并返回z。
func (z *Int) SetUint64(x uint64) *Int {
	z.abs = z.abs.setUint64(x)
	z.neg = false
	return z
}

func NewInt(x int64) *Int {
	return new(Int).SetInt64(x)
}

// set将z设置到x并返回z。
func (z *Int) Set(x *Int) *Int {
	if z != x {
		z.abs = z.abs.set(x.abs)
		z.neg = x.neg
	}
	return z
}

// 位通过返回其
// 绝对值作为一个小的尾端字片来提供对x的原始（未选中但快速）访问。结果和x共享
// 相同的底层数组。
// Bits旨在支持本软件包之外缺少的低级别Int 
// 功能的实现；否则就应该避免。
func (x *Int) Bits() []Word {
	return x.abs
}

// SetBits通过将其
// 值设置为abs（解释为一个小的尾端字片），并返回
// z，提供对z的原始（未经检查但快速）访问。结果和abs共享相同的底层数组。
// SetBits旨在支持本软件包之外缺少的低级别Int 
// 功能的实现；否则就应该避免。
func (z *Int) SetBits(abs []Word) *Int {
	z.abs = nat(abs).norm()
	z.neg = false
	return z
}

// Abs将z设置为| x |（x的绝对值）并返回z。
func (z *Int) Abs(x *Int) *Int {
	z.Set(x)
	z.neg = false
	return z
}

// Neg将z设置为-x并返回z。
func (z *Int) Neg(x *Int) *Int {
	z.Set(x)
	z.neg = len(z.abs) > 0 && !z.neg // 0没有符号
	return z
}

// Abs将集合z添加到x+y的和中并返回z。
func (z *Int) Add(x, y *Int) *Int {
	neg := x.neg
	if x.neg == y.neg {
		// x+y==x+y 
		// /-x+-y==-（x+y）
		z.abs = z.abs.add(x.abs, y.abs)
	} else {
		if x.abs.cmp(y.abs) >= 0 {
			z.abs = z.abs.sub(x.abs, y.abs)
		} else {
			neg = !neg
			z.abs = z.abs.sub(y.abs, x.abs)
		}
	}
	z.neg = len(z.abs) > 0 && neg // 0没有符号
	return z
}

// 将子集合z转换为差x-y并返回z.
func (z *Int) Sub(x, y *Int) *Int {
	neg := x.neg
	if x.neg != y.neg {
		// x-（-y）==x+y 
		// /（-x）-y=-（x+y）
		z.abs = z.abs.add(x.abs, y.abs)
	} else {
		// x-y==x-y=-（y-x）
		if x.abs.cmp(y.abs) >= 0 {
			z.abs = z.abs.sub(x.abs, y.abs)
		} else {
			neg = !neg
			z.abs = z.abs.sub(y.abs, x.abs)
		}
	}
	return z
}

func (z *Int) Mul(x, y *Int) *Int {
	// x*y==x*y 
	// x*（-y）=-（x*y）
	// /（-x）*y==-（x*y）
	// /（-x）*-y==x*y 
	if x == y {
		z.abs = z.abs.sqr(x.abs)
		z.neg = false
		return z
	}
	z.abs = z.abs.mul(x.abs, y.abs)
	z.neg = len(z.abs) > 0 && x.neg != y.neg // 0没有符号
	return z
}

// MULTRANGE将z设置为[a，b]范围内所有整数的乘积
func (z *Int) MulRange(a, b int64) *Int {
	switch {
	case a > b:
		return z.SetInt64(1) // 空范围
	case a <= 0 && b >= 0:
		return z.SetInt64(0) // 范围包括0 
	}
	// a<=b&（b<0 | | a>0）

	neg := false
	if a < 0 {
		neg = (b-a)&1 == 0
		a, b = -b, -a
	}

	z.abs = z.abs.mulRange(uint64(a), uint64(b))
	z.neg = neg
	return z
}

// 二项式集合z为（n，k）的二项式系数，并返回z。
func (z *Int) Binomial(n, k int64) *Int {
	// 通过减少k 
	if n/2 < k && k <= n {
		k = n - k // 二项式（n，k）=二项式（n，n-k）
	}
	var a, b Int
	a.MulRange(n-k+1, n)
	b.MulRange(1, k)
	return z.Quo(&a, &b)
}

// 如果y==0，则会发生被零除的运行时恐慌。
// Quo实现截断除法（如Go）；更多细节请参见QuoRem。
func (z *Int) Quo(x, y *Int) *Int {
	z.abs, _ = z.abs.div(nil, x.abs, y.abs)
	z.neg = len(z.abs) > 0 && x.neg != y.neg // 0没有符号
	return z
}

// Rem将z设置为y的剩余x%y！=0并返回z.
// 如果y==0，则会发生被零除的运行时恐慌。
// Rem实现截断模（如Go）；更多细节请参见QuoRem。
func (z *Int) Rem(x, y *Int) *Int {
	_, z.abs = nat(nil).div(z.abs, x.abs, y.abs)
	z.neg = len(z.abs) > 0 && x.neg // 0没有符号
	return z
}

// QuoRem将z设置为商x/y，将r设置为余数x%y 
// 并返回y的对（z，r）！=0.
// 如果y==0，则会发生被零除的运行时恐慌。
// 
// QuoRem实现了T除法和模（如Go）：
// 
// q=x/y，结果被截断为零
// r=x-y*q 
// 
// （参见Daan Leijen，`计算机科学家的除法和模'）
// 有关欧几里德除法和模，请参见DivMod（与Go不同）。
// 
func (z *Int) QuoRem(x, y, r *Int) (*Int, *Int) {
	z.abs, r.abs = z.abs.div(r.abs, x.abs, y.abs)
	z.neg, r.neg = len(z.abs) > 0 && x.neg != y.neg, len(r.abs) > 0 && x.neg // 0没有符号
	return z, r
}

// Div将z设置为y的商x/y！=0并返回z.
// 如果y==0，则会发生被零除的运行时恐慌。
// Div实现欧几里德除法（与Go不同）；有关更多详细信息，请参阅DivMod。
func (z *Int) Div(x, y *Int) *Int {
	y_neg := y.neg // z可能是y的别名
	var r Int
	z.QuoRem(x, y, &r)
	if r.neg {
		if y_neg {
			z.Add(z, intOne)
		} else {
			z.Sub(z, intOne)
		}
	}
	return z
}

// Mod将z设置为y的模x%y！=0并返回z.
// 如果y==0，则会发生被零除的运行时恐慌。
// Mod实现欧几里德模（与Go不同）；有关更多详细信息，请参阅DivMod。0.
func (z *Int) Mod(x, y *Int) *Int {
	if z == y || alias(z.abs, y.abs) {
		y0 = new(Int).Set(y)
	}
	var q Int
	q.QuoRem(x, y, z)
	if z.neg {
		if y0.neg {
			z.Sub(z, y0)
		} else {
			z.Add(z, y0)
		}
	}
	return z
}

// 如果y==0，则会发生被零除的运行时恐慌。
// 
// DivMod实现欧几里德除法和模（与Go不同）：
// 
// q=x div y，使得
// m=x-y*q，0<=m<|y | 
// 
// div和mod.的欧几里德定义'。编程语言和
// Systems（TOPLAS）上的ACM交易，14（2）：127-144，美国纽约，1992年4月。
// ACM出版社）
// 有关T除法和模数（如Go），请参见QuoRem。
// 
func (z *Int) DivMod(x, y, m *Int) (*Int, *Int) {
	y0 := y // save y 
	if z == y || alias(z.abs, y.abs) {
		y0 = new(Int).Set(y)
	}
	z.QuoRem(x, y, m)
	if m.neg {
		if y0.neg {
			z.Add(z, intOne)
			m.Sub(m, y0)
		} else {
			z.Sub(z, intOne)
			m.Add(m, y0)
		}
	}
	return z, m
}

// Cmp比较x和y并返回：
// 
// /-1如果x<y 
// 0如果x==y 
// /+1如果x>y 
func (x *Int) Cmp(y *Int) (r int) {
	switch {
	case x == y:
	case x.neg == y.neg:
		r = x.abs.cmp(y.abs)
		if x.neg {
			r = -r
		}
	case x.neg:
		r = -1
	default:
		r = 1
	}
	return
}

// 
func (x *Int) CmpAbs(y *Int) int {
	return x.abs.cmp(y.abs)
}

func low32(x nat) uint32 {
	if len(x) == 0 {
		return 0
	}
	return uint32(x[0])
}

func low64(x nat) uint64 {
	if len(x) == 0 {
		return 0
	}
	v := uint64(x[0])
	if _W == 32 && len(x) > 1 {
		return uint64(x[1])<<32 | v
	}
	return v
}

// Int64返回x的Int64表示形式。
// 如果x不能在Int64中表示，则结果未定义。
func (x *Int) Int64() int64 {
	v := int64(low64(x.abs))
	if x.neg {
		v = -v
	}
	return v
}

// Uint64返回x的Uint64表示形式。
// 如果x不能在Uint64中表示，则结果未定义。
func (x *Int) Uint64() uint64 {
	return low64(x.abs)
}

// IsInt64报告x是否可以表示为int64。
func (x *Int) IsInt64() bool {
	if len(x.abs) <= 64/_W {
		w := int64(low64(x.abs))
		return w >= 0 || x.neg && w == -w
	}
	return false
}

// IsUint64报告x是否可以表示为uint64。
func (x *Int) IsUint64() bool {
	return !x.neg && len(x.abs) <= 64/_W
}

// SetString将z设置为s的值，以给定的基数进行解释，
// 并返回z和一个表示成功的布尔值。整个字符串
// （不仅仅是前缀）必须有效才能成功。如果SetString失败，
// z的值未定义，但返回值为零。
// 
// 基参数必须为0或介于2和MaxBase之间的值。
// 对于基数0，数字前缀决定实际基数：
// /`0b'或`0b'的前缀选择基数2，`0'，`0o'或`0o'选择基数8，
// 而`0x'或`0x'选择基数16。否则，所选基数为10 
// 且不接受前缀。
// 
// 对于小于等于36的基，小写和大写字母被认为是相同的：
// 字母“a”到“z”和“a”到“z”代表数字值10到35。
// 对于大于36的基数，大写字母“A”到“Z”代表数字
// 值36到61。
// 
// 对于基数0，在基数
// 前缀和相邻数字之间，以及在连续数字之间，可能会出现下划线字符` ` `；这样的
// 下划线不会改变数字的值。
// 如果没有其他错误，则下划线的错误放置将被报告为错误。如果是基地！=0，下划线不可识别
// 并且与任何其他无效数字的字符一样。
// 
func (z *Int) SetString(s string, base int) (*Int, bool) {
	return z.setFromScanner(strings.NewReader(s), base)
}

// setFromScanner在给定io的情况下实现SetString。拜特斯卡纳。
// 有关文档，请参阅SetString的注释。
func (z *Int) setFromScanner(r io.ByteScanner, base int) (*Int, bool) {
	if _, _, err := z.scan(r, base); err != nil {
		return nil, false
	}
	// 整个内容必须已被消费
	if _, err := r.ReadByte(); err != io.EOF {
		return nil, false
	}
	return z, true // 错误==io。EOF=>scan consumed所有r 
}

// SetBytes将buf解释为大端无符号
// 整数的字节，将z设置为该值，并返回z。
func (z *Int) SetBytes(buf []byte) *Int {
	z.abs = z.abs.setBytes(buf)
	z.neg = false
	return z
}

// 字节将x的绝对值作为大端字节片返回。
// 
// 要使用固定长度的片或预分配的片，请使用FillBytes。
func (x *Int) Bytes() []byte {
	buf := make([]byte, len(x.abs)*_S)
	return buf[x.abs.bytes(buf):]
}

// FillBytes将buf设置为x的绝对值，将其存储为零扩展的
// 大端字节片，并返回buf。
// 
// 如果x的绝对值不符合buf，FillBytes将死机。
func (x *Int) FillBytes(buf []byte) []byte {
	// 清除整个缓冲区。（这会在memclr中得到优化。）
	for i := range buf {
		buf[i] = 0
	}
	x.abs.bytes(buf)
	return buf
}

// BitLen返回x的绝对值的长度（以位为单位）。
// 0的位长度为0。
func (x *Int) BitLen() int {
	return x.abs.bitLen()
}

// TrailingZeroBits返回连续最低有效零的数量
// x |的位。
func (x *Int) TrailingZeroBits() uint {
	return x.abs.trailingZeroBits()
}

// Exp设置z=x**y mod | m |（即忽略m的符号），并返回z.
// 如果m==nil或m==0，z=x**y，除非y<=0，否则z=1。如果m！=0，y<0，
// x和m不是相对素数，z不变，返回nil。
// 
// 特定大小输入的模幂运算不是
// 加密恒定时间操作。
func (z *Int) Exp(x, y, m *Int) *Int {
	// 参见Knuth第二卷第4.6.3节。
	xWords := x.abs
	if y.neg {
		if m == nil || len(m.abs) == 0 {
			return z.SetInt64(1)
		}
		// 对于y<0:x**y mod m==（x**（-1））**y | mod m 
		inverse := new(Int).ModInverse(x, m)
		if inverse == nil {
			return nil
		}
		xWords = inverse.abs
	}
	yWords := y.abs

	var mWords nat
	if m != nil {
		mWords = m.abs // m.abs对于m==0 
	}

	z.abs = z.abs.expNN(xWords, yWords, mWords)
	z.neg = len(z.abs) > 0 && x.neg && len(yWords) > 0 && yWords[0]&1 == 1 // 0没有符号
	if z.neg && len(mWords) > 0 {
		// 使模结果为正
		z.abs = z.abs.sub(mWords, z.abs) // z==x**y mod m |和&0<=z<=m | m | 
		z.neg = false
	}

	return z
}

// GCD将z设置为a的最大公倍数，如果a和z不为零，GCD将其值设置为z=a*x+b*y。
// 
// a和b可以是正的、零的或负的。（在Go 1.14之前，两者的
// to大于0。）不管a和b的符号是什么，z总是>=0。
// 
// 如果a==b==0，GCD设置z=x=y=0。如果a=0和b！=0，GCD集合z=|b |，x=0，y=sign（b）*1。如果a！=0和b==0，GCD集合z=|a |，x=符号（a）*1，y=0。
func (z *Int) GCD(x, y, a, b *Int) *Int {
	if len(a.abs) == 0 || len(b.abs) == 0 {
		lenA, lenB, negA, negB := len(a.abs), len(b.abs), a.neg, b.neg
		if lenA == 0 {
			z.Set(b)
		} else {
			z.Set(a)
		}
		z.neg = false
		if x != nil {
			if lenA == 0 {
				x.SetUint64(0)
			} else {
				x.SetUint64(1)
				x.neg = negA
			}
		}
		if y != nil {
			if lenB == 0 {
				y.SetUint64(0)
			} else {
				y.SetUint64(1)
				y.neg = negB
			}
		}
		return z
	}

	return z.lehmerGCD(x, y, a, b)
}

// lehmerSimulate尝试使用A和B的前导数字模拟几个欧几里德更新步骤。它返回u0、u1、v0、，v1 
// 这样A和B可以更新为：
// A=u0*A+v0*B 
// B=u1*A+v1*B 
// 要求：A>=B和len（B.abs）>=2 
// 因为我们是用完整的单词来计算以避免溢出，所以
// 我们使用“偶数”来跟踪cosces的符号。
// 对于偶数迭代：u0，v1>=0&&u1，v0<=0 
// 对于奇数迭代：u0，v1<=0&&u1，v0>=0 
func lehmerSimulate(A, B *Int) (u0, u1, v0, v1 Word, even bool) {
	// 初始化数字
	var a1, a2, u2, v2 Word

	m := len(B.abs) // m>=2 
	n := len(A.abs) // n>=m>=2 

	// 从A和B中提取位的顶字
	h := nlz(A.abs[n-1])
	a1 = A.abs[n-1]<<h | A.abs[n-2]>>(_W-h)
	// 如果长度不同，B可能在高位有隐式零字
	switch {
	case n == m:
		a2 = B.abs[n-1]<<h | B.abs[n-2]>>(_W-h)
	case n == m+1:
		a2 = B.abs[n-2] >> (_W - h)
	default:
		a2 = 0
	}

	// 因为我们是用全字计算以避免溢出，
	// 我们使用“偶数”来追踪共序列的符号。
	// 对于偶数迭代：u0，v1>=0&&u1，v0<=0 
	// 对于奇数迭代：u0，v1<=0&&u1，v0>=0 
	// 第一次迭代以k=1（奇数）开始。
	even = false
	// 用于跟踪共序列的变量
	u0, u1, u2 = 0, 1, 0
	v0, v1, v2 = 0, 0, 1

	// 使用柯林斯停止条件计算商和共序列。
	// 注意，在计算余数
	// 序列和共序列时，一个字不可能溢出，因为共序列大小受输入大小的限制。
	// 详情见Jebelean第4.2节。
	for a2 >= v2 && a1-a2 >= v1+v2 {
		q, r := a1/a2, a1%a2
		a1, a2 = a2, r
		u0, u1, u2 = u1, u2, u1+q*u2
		v0, v1, v2 = v1, v2, v1+q*v2
		even = !even
	}
	return
}

// lehmerUpdate更新输入A和B，以便：
// A=u0*A+v0*B 
// B=u1*A+v1*B 
// 其中u0、u1、v0、v1的符号由偶数
// 表示偶数==true:u0、v1>=0&&u1、v0<=0 
func lehmerUpdate(A, B, q, r, s, t *Int, u0, u1, v0, v1 Word, even bool) {

	t.abs = t.abs.setWord(u0)
	s.abs = s.abs.setWord(v0)
	t.neg = !even
	s.neg = even

	t.Mul(A, t)
	s.Mul(B, s)

	r.abs = r.abs.setWord(u1)
	q.abs = q.abs.setWord(v1)
	r.neg = even
	q.neg = !even

	r.Mul(A, r)
	q.Mul(B, q)

	A.Add(t, s)
	B.Add(r, q)
}

// 欧几里德更新执行欧几里德GCD算法的一个步骤
// 如果扩展为真，它还会更新同序列Ua，Ub 
func euclidUpdate(A, B, Ua, Ub, q, r, s, t *Int, extended bool) {
	q, r = q.QuoRem(A, B, r)

	*A, *B, *r = *B, *r, *A

	if extended {
		// Ua，Ub=Ub，Ua-q*Ub 
		t.Set(Ub)
		s.Mul(Ub, q)
		Ub.Sub(Ua, s)
		Ua.Set(t)
	}
}

// lehmerGCD将z设置为a和b的最大公因子，
// 两者都必须是！=0，并返回z.
// 如果x或y不为零，它们的值设置为z=a*x+b*y.
// 请参阅Knuth，《计算机编程艺术》，第2卷，第4.5.2节，算法L.
// 此实现使用Collins的改进条件，只需要一个
// 商，并避免单字溢出的可能性。
// 参见Jebelean，“改进多精度欧几里德算法”，
// 符号计算系统的设计与实现，第45-58页。
// 根据
// Cohen等人的算法10.45更新余序。《椭圆曲线和超椭圆曲线密码术手册》第192页。
func (z *Int) lehmerGCD(x, y, a, b *Int) *Int {
	var A, B, Ua, Ub *Int

	A = new(Int).Abs(a)
	B = new(Int).Abs(b)

	extended := x != nil || y != nil

	if extended {
		// Ua（Ub）跟踪输入a累积到a（B）中的次数。
		Ua = new(Int).SetInt64(1)
		Ub = new(Int)
	}

	// 用于多精度更新的临时变量
	q := new(Int)
	r := new(Int)
	s := new(Int)
	t := new(Int)

	// 确保A>=B 
	if A.abs.cmp(B.abs) < 0 {
		A, B = B, A
		Ub, Ua = Ua, Ub
	}

	// 循环不变量A>=B 
	for len(B.abs) > 1 {
		// 尝试使用A和B的前导字以单精度计算。
		u0, u1, v0, v1, even := lehmerSimulate(A, B)

		// 多精度步骤
		if v0 != 0 {
			// 使用余序模拟单精度步骤的效果。
			// A=u0*A+v0*B 
			// B=u1*A+v1*B 
			lehmerUpdate(A, B, q, r, s, t, u0, u1, v0, v1, even)

			if extended {
				// Ua=u0*Ua+v0*Ub 
				// Ub=u1*Ua+v1*Ub 
				lehmerUpdate(Ua, Ub, q, r, s, t, u0, u1, v0, v1, even)
			}

		} else {
			// 单位数计算无法模拟任何商。
			// 做一个标准的欧几里得步骤。
			euclidUpdate(A, B, Ua, Ub, q, r, s, t, extended)
		}
	}

	if len(B.abs) > 0 {
		// 扩展欧几里德算法基本情况如果B是一个单词
		if len(A.abs) > 1 {
			// a比一个单词长，因此需要进行一次更新。
			euclidUpdate(A, B, Ua, Ub, q, r, s, t, extended)
		}
		if len(B.abs) > 0 {
			// A和B都是一个单词。
			aWord, bWord := A.abs[0], B.abs[0]
			if extended {
				var ua, ub, va, vb Word
				ua, ub = 1, 0
				va, vb = 0, 1
				even := true
				for bWord != 0 {
					q, r := aWord/bWord, aWord%bWord
					aWord, bWord = bWord, r
					ua, ub = ub, ua+q*ub
					va, vb = vb, va+q*vb
					even = !even
				}

				t.abs = t.abs.setWord(ua)
				s.abs = s.abs.setWord(va)
				t.neg = !even
				s.neg = even

				t.Mul(Ua, t)
				s.Mul(Ub, s)

				Ua.Add(t, s)
			} else {
				for bWord != 0 {
					aWord, bWord = bWord, aWord%bWord
				}
			}
			A.abs[0] = aWord
		}
	}
	negA := a.neg
	if y != nil {
		// 避免在下面的除法中使用b的别名
		if y == b {
			B.Set(b)
		} else {
			B = b
		}
		// y=（z-a*x）/b 
		y.Mul(a, Ua) // y可以安全地为
		if negA {
			y.neg = !y.neg
		}
		y.Sub(A, y)
		y.Div(y, B)
	}

	if x != nil {
		*x = *Ua
		if negA {
			x.neg = !x.neg
		}
	}

	*z = *A

	return z
}

// 将z设置为[0，n）并返回z.
// 
// 由于这使用了math/rand包，它不能用于
// 安全敏感工作。请改用crypto/rand.Int。
func (z *Int) Rand(rnd *rand.Rand, n *Int) *Int {
	z.neg = false
	if n.neg || len(n.abs) == 0 {
		z.abs = nil
		return z
	}
	z.abs = z.abs.random(rnd, n.abs, n.abs.bitLen())
	return z
}

// ModInverse将z设置为环中g的乘法逆ℤ/Nℤ 
// 并返回z。如果g和n不是相对素数，则g在环中没有乘法
// 逆ℤ/Nℤ.  在这种情况下，z不变，返回值
// 为零。
func (z *Int) ModInverse(g, n *Int) *Int {
	// GCD希望参数a和b大于0。
	if n.neg {
		var n2 Int
		n = n2.Neg(n)
	}
	if g.neg {
		var g2 Int
		g = g2.Mod(g, n)
	}
	var d, x Int
	d.GCD(&x, nil, g, n)

	// 当且仅当d==1，g和n是相对素数
	if d.Cmp(intOne) != 0 {
		return nil
	}

	// x和y是g*x+n*y=1，因此x是逆元素，但它可能是负的，所以转换到范围0<=z<|n | 
	if x.neg {
		z.Add(&x, n)
	} else {
		z.Set(&x)
	}
	return z
}

// 雅可比返回雅可比符号（x/y），或者+1，-1，或者0。
// y参数必须是奇数整数。
func Jacobi(x, y *Int) int {
	if len(y.abs) == 0 || y.abs[0]&1 == 0 {
		panic(fmt.Sprintf("big: invalid 2nd argument to Int.Jacobi: need odd integer but got %s", y))
	}

	// 我们使用第2章第2.4节中描述的公式，
	// 《雅卡斯算法之书》：
	// http:

	var a, b, c Int
	a.Set(x)
	b.Set(y)
	j := 1

	if b.neg {
		if a.neg {
			j = -1
		}
		b.neg = false
	}

	for {
		if b.Cmp(intOne) == 0 {
			return j
		}
		if len(a.abs) == 0 {
			return 0
		}
		a.Mod(&a, &b)
		if len(a.abs) == 0 {
			return 0
		}
		// a>0 

		// a中2的处理因子
		s := a.abs.trailingZeroBits()
		if s&1 != 0 {
			bmod8 := b.abs[0] & 7
			if bmod8 == 3 || bmod8 == 5 {
				j = -j
			}
		}
		c.Rsh(&a, s) // a=2^s*c 

		// 交换分子和分母
		if b.abs[0]&3 == 3 && c.abs[0]&3 == 3 {
			j = -j
		}
		a.Set(&b)
		b.Set(&c)
	}
}

// modSqrt3Mod4使用身份
// 快速计算3个
// mod 4素数的任意二次剩余mod p的平方根。
func (z *Int) modSqrt3Mod4Prime(x, p *Int) *Int {
	e := new(Int).Add(p, intOne) // e=p+1 
	e.Rsh(e, 2)                  // e=（p+1）/4 
	z.Exp(x, e, p)               // z=x^e mod p 
	return z
}

// modSqrt5Mod8使用了阿特金的观察结果，即2不是一个平方根mod p 
// alpha==（2*a）^（（p-5）/8）mod p 
// 快速计算5个
// mod 8素数的任意二次剩余mod p的平方根。
func (z *Int) modSqrt5Mod8Prime(x, p *Int) *Int {
	// p==5 mod 8意味着p=e*8+5 
	// e是商，5是除以8的余数
	e := new(Int).Rsh(p, 3)  // e=（p-5）/8 
	tx := new(Int).Lsh(x, 1) // tx=2*x 
	alpha := new(Int).Exp(tx, e, p)
	beta := new(Int).Mul(alpha, alpha)
	beta.Mod(beta, p)
	beta.Mul(beta, tx)
	beta.Mod(beta, p)
	beta.Sub(beta, intOne)
	beta.Mul(beta, x)
	beta.Mod(beta, p)
	beta.Mul(beta, alpha)
	z.Mod(beta, p)
	return z
}

// modSqrtTonelliShanks使用Tonelli-Shanks算法找到任意素数的平方
// 。
func (z *Int) modSqrtTonelliShanks(x, p *Int) *Int {
	// 将p-1分解为s*2^e，使s为奇数。
	var s Int
	s.Sub(p, intOne)
	e := s.abs.trailingZeroBits()
	s.Rsh(&s, e)

	// 查找一些非平方n 
	var n Int
	n.SetInt64(2)
	for Jacobi(&n, p) != -1 {
		n.Add(&n, intOne)
	}

	// Tonelli Shanks算法的核心。按照埃兹拉·阿肯德夫格的《从1；24，51，10到丹·尚克斯的平方根》第6节中的描述，布朗：阿肯德夫格
	var y, b, g, t Int
	y.Add(&s, intOne)
	y.Rsh(&y, 1)
	r := e
	for {
		var m uint
		t.Set(&b)
		for t.Cmp(intOne) != 0 {
			t.Mul(&t, &t).Mod(&t, p)
			m++
		}

		if m == 0 {
			return z.Set(&y)
		}

		t.SetInt64(0).SetBit(&t, int(r-m-1), 1).Exp(&g, &t, p)
		y.Mul(&y, &t).Mod(&y, p)
		b.Mul(&b, &g).Mod(&b, p)
		r = m
	}
}

// ModSqrt将z设置为x mod p的平方根（如果存在这样的平方根），并且
// 返回z。模p必须是奇数素数。如果x不是平方mod p，则
// ModSqrt保持z不变并返回nil。如果p是
// 不是奇数整数，则此函数将崩溃。
func (z *Int) ModSqrt(x, p *Int) *Int {
	switch Jacobi(x, p) {
	case -1:
		return nil // x不是正方形mod p 
	case 0:
		return z.SetInt64(0) // sqrt（0）mod p=0 
	case 1:
		break
	}
	if x.neg || x.Cmp(p) >= 0 { // 确保0<=x<p 
		x = new(Int).Mod(x, p)
	}

	switch {
	case p.abs[0]%4 == 3:
		// 检查p是否为3 mod 4，如果是，使用更快的算法。
		return z.modSqrt3Mod4Prime(x, p)
	case p.abs[0]%8 == 5:
		// 检查p是否为5模8，使用阿特金算法。
		return z.modSqrt5Mod8Prime(x, p)
	default:
		// 否则，使用Tonelli Shanks。
		return z.modSqrtTonelliShanks(x, p)
	}
}

// Lsh设置z=x<<n并返回z.
func (z *Int) Lsh(x *Int, n uint) *Int {
	z.abs = z.abs.shl(x.abs, n)
	z.neg = x.neg
	return z
}

// Rsh设置z=x>>n并返回z。
func (z *Int) Rsh(x *Int, n uint) *Int {
	if x.neg {
		// /（-x）>>s==^（x-1）>>s=^（（x-1）>>s==-（（x-1）>>s）+1）
		t := z.abs.sub(x.abs, natOne) // 没有下溢，因为| x |>0 
		t = t.shr(t, n)
		z.abs = t.add(t, natOne)
		return z
	}

	z.abs = z.abs.shr(x.abs, n)
	z.neg = false
	return z
}

// 位返回x的第i位的值。也就是说，
func (x *Int) Bit(i int) uint {
	if i == 0 {
		// 常见情况下的优化：x 
		if len(x.abs) > 0 {
			return uint(x.abs[0] & 1) // 位0与-x 
		}
		return 0
	}
	if i < 0 {
		panic("negative bit index")
	}
	if x.neg {
		t := nat(nil).sub(x.abs, natOne)
		return t.bit(uint(i)) ^ 1
	}

	return x.abs.bit(uint(i))
}

// 设置z为x相同，x的第i位设置为b（0或1）。
// 也就是说，如果b是1，则设置z=x |（1<<i）；
// 如果b为0，则设置z=x&^（1<<i）。如果b不是0或1，
// 它将恐慌。
func (z *Int) SetBit(x *Int, i int, b uint) *Int {
	if i < 0 {
		panic("negative bit index")
	}
	if x.neg {
		t := z.abs.sub(x.abs, natOne)
		t = t.setBit(t, uint(i), b^1)
		z.abs = t.add(t, natOne)
		z.neg = len(z.abs) > 0
		return z
	}
	z.abs = z.abs.setBit(x.abs, uint(i), b)
	z.neg = false
	return z
}

// 并设置z=x&y并返回z.
func (z *Int) And(x, y *Int) *Int {
	if x.neg == y.neg {
		if x.neg {
			// /（-x）和（-y）=^（x-1）和^（y-1）=^（（x-1）|（y-1））==-（（x-1）|（y-1））+1）
			x1 := nat(nil).sub(x.abs, natOne)
			y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
			z.abs = z.abs.add(z.abs.or(x1, y1), natOne)
			z.neg = true // 如果x和y为负，则z不能为零y、 该地区的
			return z
		}

		z.abs = z.abs.and(x.abs, y.abs)
		z.neg = false
		return z
	}

	if x.neg {
		x, y = y, x // 
	}

	y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
	z.abs = z.abs.andNot(x.abs, y1)
	z.neg = false
	return z
}

func (z *Int) AndNot(x, y *Int) *Int {
	if x.neg == y.neg {
		if x.neg {
			x1 := nat(nil).sub(x.abs, natOne)
			y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
			z.abs = z.abs.andNot(y1, x1)
			z.neg = false
			return z
		}

		z.abs = z.abs.andNot(x.abs, y.abs)
		z.neg = false
		return z
	}

	if x.neg {
		x1 := nat(nil).sub(x.abs, natOne)
		z.abs = z.abs.add(z.abs.or(x1, y.abs), natOne)
		return z
	}

	y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
	z.abs = z.abs.and(x.abs, y1)
	z.neg = false
	return z
}

func (z *Int) Or(x, y *Int) *Int {
	if x.neg == y.neg {
		if x.neg {
			x1 := nat(nil).sub(x.abs, natOne)
			y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
			z.abs = z.abs.add(z.abs.and(x1, y1), natOne)
			return z
		}

		z.abs = z.abs.or(x.abs, y.abs)
		z.neg = false
		return z
	}

	// x.neg！=y、 在全国范围内的
	if x.neg {
		x, y = y, x // /是对称的
		x, y = y, x // /是对称的
	}

	// 是对称的
	// 是对称的
	y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
	z.abs = z.abs.add(z.abs.andNot(y1, x.abs), natOne)
	return z
}

func (z *Int) Xor(x, y *Int) *Int {
	if x.neg == y.neg {
		if x.neg {
			x1 := nat(nil).sub(x.abs, natOne)
			y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
			z.abs = z.abs.xor(x1, y1)
			z.neg = false
			return z
		}

		z.abs = z.abs.xor(x.abs, y.abs)
		z.neg = false
		return z
	}

	// x.neg！=y、 负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负负正
	if x.neg {
	}

	y1 := nat(nil).sub(y.abs, natOne)
	z.abs = z.abs.add(z.abs.xor(x.abs, y1), natOne)
	return z
}

func (z *Int) Not(x *Int) *Int {
	if x.neg {
		z.abs = z.abs.sub(x.abs, natOne)
		z.neg = false
		return z
	}

	z.abs = z.abs.add(x.abs, natOne)
	return z
}

// Sqrt将z设置为⌊√十、⌋, z²的最大整数≤ x、 返回z.
// 如果x为负，它会惊慌失措。
func (z *Int) Sqrt(x *Int) *Int {
	if x.neg {
		panic("square root of negative number")
	}
	z.neg = false
	z.abs = z.abs.sqrt(x.abs)
	return z
}
